الوحدة الأولى
النسبة
معنى النسبة
تمهيد :
( 1 ) المقارنة بين عددين :
إذا كان لدى سمير 4 كراسات و 3 كتب نستطيع المقارنة بين عدد الكراسات و عدد الكتب
بإحدى الطرق التالية :
( ا ) عدد الكتب أقل من عدد الكراسات أو عدد الكراسات أكبر من عدد الكتب
( ب ) عدد الكراسات $؛3 ما مع سعيد لأن : = $؛3؛1
( حـ ) عدد الكتب #؛4 عدد الكراسات لأن : = #؛4
يسمى الكسر = $؛3؛1 بنسبة عدد الكراسات إلى عدد الكتب
كما يسمى الكسر = #؛4 بنسبة عدد الكتب إلى عدد الكراسات
( ) المقارنة بين كميتين من نفس النوع :
إذا كان مع سمير50 جنيهاً و مع سعيد 100 جنيهاً نستطيع المقارنة بين المبلغين بإحدى الطرق التالية :
( ا ) ما مع سمير أقل من ما مع سعيد أو ما مع سعيد أقل من ما مع سمير
( ب ) ما مع سمير !؛2 ما مع سعيد لأن : = (؛0%؛0 ؛1 = %؛0 ؛1 = !؛2
( حـ ) ما مع سعيد ضعف ما مع سمير لأن : = (؛0(؛5!؛ = (؛5!؛ =
يسمى الكسر = !؛2 بنسبة ما مع سمير إلى ما مع سعيد
كما يسمى الكسر = @؛1 بنسبة ما مع سعيد إلى ما مع سمير
معنى النسبة :
عند المقارنة بين كميتين أو ( عددين ) من نفس النوع و لهما نفس الوحدات فإن الكسر الناتج
يسمى " النسبة "
أى أن : النسبة بين عدد و عدد آخر =
التعبير عن النسبة :
أستطعنا التعبير عن المقارنة بين المبلغين 50 جنيهاً ، 100 جنيهاً بصورة كسرية هى = !؛2
و يمكن كتابتها بصورة أخرى 1 : و تقرأ ( 1 إلى )
حيث : يسمى 1 مقدم النسبة أو حدها الأول ، تالى النسبة أو حدها الثانى
تدريبات :
(1) أكمل : إذا كان لدى سارة 6 كراسات و 5 أقلام فإن :
نسبة عدد الكراسات إلى عدد الأقلام = = أو 0000 : 0000
نسبة عدد الأقلام إلى عدد الكراسات = = أو 0000 : 0000
() أكمل : إذا كان وزن ( ماهر ) 40 كيلوجراماً ، و وزن ( خالد ) 50 كيلوجراماً فإن :
نسبة وزن ( ماهر ) إلى وزن ( خالد ) = = أو 0000 : 0000
نسبة وزن ( خالد ) إلى وزن ( ماهر ) = = أو 0000 : 0000
(3) أكمل : إذا كان طول رجل 180 سم ، و طول أبنه 130 سم فإن :
نسبة طول الرجل إلى طول الأبن = = أو 0000 : 0000
نسبة طول الأبن إلى طول الرجل = = أو 0000 : 0000
(4) أكمل : مربع طول ضلعه 5 سم ، مستطيل بعداه 3 سم ، 6 سم فإن :
=
أو 0000 : 0000
(5) أكمل : مثلث متساوى الأضلاع طول ضلعه 5 سم ، مربع طول ضلعه 7 سم فإن :
=
أو 0000 : 0000
تمارين
( 1 ) أكمل الجدول التالى :
مقدم النسبة تالى النسبة صور التعبير عن النسبة
5 6 %؛6 5 : 6
3 8
!؛3
: 3
( ) إذا كان إرتفاع منزل 7 أمتار ، و إرتفاع شجرة 3 أمتار عبر عن النسبة بين إرتفاع المنزل إلى
إرتفاع الشجرة بطريقتين مختلفتين
( 3 ) إذا كان عمر رجل 60 سنة و عمر أبنه 0 سنة عبر عن النسبة بين عمر الرجل إلى عمر أبنه
بطريقتين مختلفتين
( 4 ) إذا كان عدد البنين في أحد فصول الصف السادس الإبتدائى 0 متعلم و عدد البنات 30 متعلمة
عبر عن النسب التالية بطريقتين :
[ ا ] عدد البنين إلى عدد البنات
[ ب ] عدد البنين إلى متعلمى الفصل
[ حـ ] عدد البنات إلى متعلمى الفصل
( 5 ) إذا كان طول مستطيل 4 سم و عرضه 7 سم عبر عن النسب التالية بطريقتين :
[ ا ] طول المستطيل و عرضه
[ ب ] طول المستطيل و محيطه
[ حـ ] عرض المستطيل و محيطه
( 6 ) قطعتان من الأرض مجموع محيطيهما 1300 متراً فإذا كان محيط القطعة الصغرى 500 متراً أوجد :
[ ا ] محيط القطعة الكبرى
[ ب ] النسبة بين محيط القطعة الكبرى و القطعة الصغرى
[ حـ ] النسبة بين محيط القطعة الكبرى و مجموع محيطى القطعتين
[ ء ] النسبة بين محيط القطعة الصغرى و مجموع محيطى القطعتين
( 7 ) دائرتان مجموع محيطيهما 99 سم فإذا كان محيط الأولى 88 سم أوجد :
[ ا ] محيط الدائرة الأخرى
[ ب ] النسبة بين محيط الدائرة الصغرى إلى مجموع محيطى الدائرتين
[ حـ ] النسبة بين محيط الدائرة الكبرى و الدائرة الصغرى
[ ء ] النسبة بين نصف طول قطر الدائرة الصغرى و طول نصف قطر الدائرة الكبرى
خواص النسبة
خاصية ( 1 ) :
النسبة لها خواص الكسر العادى من حيث الإختصار و التبسيط و المقارنة
أمثلة :
[ 1 ] إذا كان مع سوسن 48 جنيهاً و مع أخيها محسن 36 جنيهاً أوجد نسبة ما مع سوسن إلى ما مع محسن
الحلــــــــــــــــ
= *؛6$؛3 = *؛6 = $؛3
[ ] أوجد النسبة بين كلاً : ( ا ) #؛5 : )؛0 ؛1 (ب) !؛4 1 : 3.75
الحلــــــــــــــــ
( ا ) #؛5 : )؛0 ؛1 = #؛5 ÷ )؛0 ؛1 = #؛5 × (؛9!؛ = @؛3 أو : 3 " الإختصار "
(ب) !؛4 1 : 3.75 = %؛4 : %؛0&؛0#؛1 = %؛4 ÷ %؛0&؛0#؛1 = %؛4 × (؛5(؛7!؛3 = %؛5@؛7
= %؛5 ؛1 = !؛3 أو 1 : 3 " الإختصار و التبسيط "
[ 3 ] قارن بين النسبتين $؛5 ، @؛3 بإستخدام ( > أو < )
الحلــــــــــــــــ
نوجد م 0 م 0 ا للمقامات و هو 15
إذن : $؛5 = @؛5!؛1 ، @؛3 = (؛5!؛1
و حيث أن : @؛5!؛1 > (؛5!؛1 إذن : $؛5 > @؛3
ملاحظات :
• المقارنة بين نسبتين كالمقارنة بين كسرين
• نظراً لعدم وجود إختصار أو تبسيط أوجدنا م 0 م 0 ا للمقامات مباشرة
خاصية ( ) :
حدا النسبة يجب أن يكون عددين صحيحين
لاحظ :
في الأمثلة السابقة كانت النواتج النهائية على الترتيب هى :
4 : 3 ، : 3 ، 1 : 3
أى أن : جميع حدود النسب أعداد صحيحة
خاصية ( 3 ) :
عند المقارنة بين كميتين لتكوين نسبة بينهما يجب أن تكون وحدات قياسهما من نفس النوع
أمثلة :
[ 1 ] قارن بين الطولين 3 أمتار ، 175 سنتيمتراً
الحلــــــــــــــــ
نحول 3 أمتار إلى 300 سنتيمتراً " حيث : المتر = 100 سنتيمتراً "
ثم نستخدم التبسيط و الإختصار فتصبح النسبة بين الطولين كما يلى :
(؛5(؛7#؛1 = @؛7!؛ أو ( 1 : 7 )
أى أن : 3 أمتار > 175 سنتيمتراً
لاحظ :
يمكن تحويل 175 سنتيمتراً إلى 1.75 متراً ثم نقارن بين الطولين
[ ] قارن بين 6 ساعات و يومين
الحلــــــــــــــــ
نحول يومين إلى 48 ساعة " حيث : اليوم = 4 ساعة "
ثم نستخدم التبسيط و الإختصار فتصبح النسبة بين الطولين كما يلى :
^؛8 ؛4 = !؛8 أو ( 1 : 8 )
أى أن : 6 ساعات < يومين
لاحظ :
يمكن تحويل 6 ساعات إلى !؛4 يوم ثم نقارن
خاصية ( 4 ) :
النسبة بين مقدارين من نفس النوع عدد ليس له وحدة ( أى لا تمييز لها )
لاحظ :
في المثالين السابقين و من خلال الخاصية السابقة بعد تحويل الكميتين لنفس الوحدات :
أن النسبة في المثال [ 1 ] بين وحدات الطول إما بالسنتيمتر أو بالمتر
، النسبة في المثال [ ] بين وحدات الزمن إما بالساعات أو باليوم
تدريبات :
(1) طريق طوله 15 متراً ، و طريق آخر طوله 875 متراً أوجد النسبة بين طول الطريق الأول
إلى طول الطريق الآخر
الحلــــــــــــــــ
= = = أو 0000 : 0000
() قارن بين النسبتين !؛2 ، @؛3 بإستخدام ( > أو < )
نوجد م 0 م 0 ا للمقامات و هو 0000
إذن : !؛2 = 0000 ، @؛3 = 0000
و حيث أن : 0000 إذن : !؛2 0000 @؛3
(3) قارن بين فدانان ، و 7 قيراطاً
الحلــــــــــــــــ
نحول فدانان إلى 0000 قيراطا
ثم نستخدم 0000 و 0000 فتصبح النسبة بين الطولين كما يلى :
0000 = 0000 أو ( 0000 : 0000 )
أى أن : فدانان 0000 7 قيراطاً
تمارين
( 1 ) أكمل ما يلى :
[ ا ] النسبة بين طول ضلع المربع و محيطه = 0000 : 0000
[ ب ] النسبة بين طول قطر الدائرة و محيطها = 0000 : 0000
[ حـ ] النسبة بين طول ضلع مثلث متساوى الأضلاع و محيطه = 0000 : 0000
( ) موظف راتبه الشهرى 450 جنيهاً يصرف منها 40 جنيهاً و يوفر الباقى أوجد :
[ ا ] نسبة ما يصرفه إلى مرتبه
[ ب ] نسبة ما يوفره إلى يصرفه
[ حـ ] نسبة ما يوفره إلى مرتبه
( 3 ) مستطيل مساحته 51 متر مربع و عرضه 160 سم أوجد :
[ ا ] طول المستطيل
[ ب ] النسبة بين طول المستطيل و عرضه
[ حـ ] النسبة بين طول المستطيل و محيطه
( 4 ) إذا كان عدد المتعلمين في إحدى المدارس المشتركة 540 متعلم و متعلمة و كان عدد البنين 405 أوجد :
[ ا ] النسبة بين عدد البنين و عدد البنات
[ ب ] النسبة بين عدد البنين إلى عدد المتعلمين بالمدرسة
[ حـ ] النسبة بين عدد البنات إلى عدد المتعلمين بالمدرسة
( 5 ) قارن بين النسب التالية بإستخدام ( > أو < ) :
[ ا ] 6.4 : 16
[ ب ] 18 : 6.3
[ حـ ] 0.875 : #؛4
[ ء ] 3.6 : . 3
( 6 ) أوجد النسبة في أبسط صورة بين كل مما يلى :
[ ا ] المبلغيــــن : !؛4 6 جنيه ، 50 قرشاً
[ ب ] المسافتيــن : 3.75 كيلومتر ، 1150 متراً
[ حـ ] الزمنيـــــن : !؛2 3 ساعة ، 56 دقيقة
[ ء ] الوزنيـــــن : 30 جراماً ، 0.8 كيلوجرام
[ هـ ] المساحتين : 5. 6 ديسيم ، 875 سم
[ و ] المساحتين : . 1 فدان ، . 43 قيراط
[ ز ] المساحتين : 0.5 قيراط ، 18 سهماً
تدريبات متنوعة على النسبة و خواصها
مقدمة :
أحياناً نحتاج لحساب كمية غير معروفة بمعرفة الكمية الأخرى و النسبة بين الكميتين
و أحياناً نحتاج إلى تقسيم كمية معروفة إلى كميتين بمعرفة النسبة بينهما
ملاحظة :
الكمية المعروفة :
هى الكمية المحددة مثل :
طول شخص ، عدد عمال مصنع ، أو سعر سلعة ، أو مساحة قطعة أرض ، 0000 إلخ
الكمية غير المعروفة :
هى الكمية غير المحددة كمياً مثل :
الحاجة إلى تحديد طول شخص ، أو سعر سلعة ، أو عدد البنين و البنات بمدرسة 0000 إلخ
أمثلة :
[ 1 ] إذا كانت النسبة بين طول خالد إلى طول ماهر كنسبة 5 : 3 و كان طول ماهر 108 سم أحسب
طول ماهر
الحلــــــــــــــــ
نستخدم " قيمة الجزء " كما يلى : = %؛3
معنى ذلك أن : ( 3 أجزاء متساوية ) تعادل ( 108 سم ) و هو طول خالد
و هذا يعنى : أن قيمة الجزء الواحد = 108 ÷ 3 = 36 سم
و بذلك يكون : طول ماهر = 36 × 5 = 180 سم
حل آخــــــــــــر
= %؛3 أى أن : طول خالد = %؛3 طول ماهر
و بذلك يكون : طول خالد = 108 × %؛3 = 36 × 5 = 180 سم
التحقق من صحة الحل :
يمكن التحقق من صحة الحل كما يلى :
طول خالد : طول ماهر
180 : 108 " بالقسمة على 36 "
5 : 3 " و هى النسبة المعطاه "
[ ] إذا كانت نسبة ما مع هدى إلى ما مع ليلى كنسبة : 5 و كان مجموع ما معهما 350 جنيهاً
أوجد مقدار ما مع كل منهما
الحلــــــــــــــــ
= @؛5
مجموع الأجزاء = + 5 = 7
معنى ذلك أن : ( 350 جنيهاً ) تعادل ( 7 أجزاء متساوية )
أى أن : قيمة الجزء الواحد = 350 ÷ 6 = 50 جنيهاً
أى أن : ما مع هدى = 50 × = 100 جنيه
ما مع ليلى = 50 × 50 = 50 جنيه
التحقق من صحة الحل :
يمكن التحقق من صحة الحل كما يلى :
ما مع هدى : ما مع ليلى
100 : 50 " بالقسمة على 10 "
10 : 5 " بالقسمة على 5 "
: 5 " و هى النسبة المعطاه "
[ 3 ] عمارتان بإحدى المدن السكنية النسبة بين إرتفاعيهما 4 : 7 فإذا كان الفرق بين إرتفاعيهما 9 أمتار
أوجد إرتفاع كل من العمارتين
الحلــــــــــــــــ
= $؛7
الفرق بين عدد الأجزاء = 7 – 4 = 3
معنى ذلك أن : ( 9 أمتار ) تعادل ( 3 أجزاء متساوية )
أى أن : قيمة الجزء الواحد = 9 ÷ 3 = 3 متراً
أى أن : إرتفاع العمارة الأولى = 3 × 4 = 1 متراً
إرتفاع العمارة الثانية = 3 × 7 = 1 متراً
التحقق من صحة الحل :
يمكن التحقق من صحة الحل كما يلى :
إرتفاع العمارة الأولى : إرتفاع العمارة الثانية
1 : 1 " بالقسمة على 3 "
4 : 7 " و هى النسبة المعطاه "
تدريب :
تقدم لإمتحان الصف السادس في إحدى المدارس 10 متعلم فكانت نسبة عدد الناجحين إلى عدد الراسبين
كنسبة 5 : أوجد عدد الناجحين و عدد الراسبين في هذا الإمتحان
الحلــــــــــــــــ
= 0000
الفرق بين عدد الأجزاء = 0000 – 0000 = 0000
معنى ذلك أن : ( 0000 ) تعادل ( 00000 )
أى أن : قيمة الجزء الواحد = 0000 ÷ 00000 = 0000 متعلماً
أى أن : عدد الناجحين = 0000 × 0000 = 0000
عدد الراسبين = 0000 × 0000 = 0000
التحقق من صحة الحل :
يمكن التحقق من صحة الحل كما يلى :
عدد الناجحين : عدد الراسبين
0000 : 00000 " بالقسمة على 0000 "
0000 : 0000 " و هى النسبة المعطاه "
تمارين
( 1 ) إذا كانت النسبة بين عمر رجل إلى عمر إبنه كنسبة 8 : 3 و كان عمر الرجل الآن 40 سنة أوجد :
[ ا ] عمر الأبن
[ ب ] النسبة بين عمر الأبن إلى مجموع عمريهما
[ حـ ] النسبة بين عمر الرجل إلى مجموع عمريهما
( ) قٌسم مبلغ 450 جنيهاً بين شخصين بحيث يكون نصيب الأول $؛5 نصيب الثانى
( 3 ) إذا كانت النسبة بين عدد البنين و عدد البنات في إحدى المدارس كنسبة 7 : 5 و كان عدد البنات 465
أوجد عدد البنين
( 4 ) قطعتان من الأرض النسبة ين مساحتيهما كنسبة 5 : 6 فإذا كان الفرق بين مساحتيهما 75 متراً أوجد
النسبة بين مساحة كل من القطعتين
( 5 ) عدد البين و البنات في إحدى المدارس 800 متعلم فإذا كانت نسبة عدد البنين إلى عدد المتعلمين كنسبة 3 : 5
أوجد عدد البنين و عدد البنات بهذه المدرسة
( 6 ) يبيع تاجر فاكهة الكيلوجرام من التفاح بمبلغ 10 جنيهات فإذا كانت النسبة بين ثمن التفاح إلى ثمن الموز
كنسبة 5 : أوجد ثمن خمسة كيلوجرامات من الموز
( 7 ) في موسم التخفيضات أشترى شخص سجادة ثمنها بعد التخفيض 5 جنيهاً فإذا كانت النسبة بين ثمن السجادة
قبل التخفيض إلى ثمن السجادة يعد التخفيض كنسبة 4 : 3 أوجد الثمن الأصلى للسجادة
( 8 ) قطعة أرض مستطيلة الشكل محيطها 70 سم فإذا كانت النسبة بين طولها و عرضها كنسبة 5 : 3 أوجد
مساحة قطعة الأرض
( 9 ) مثلث متساوى الأضلاع طول ضلعه 6 سم فإذا كانت النسبة بين محيط هذا المثلث و مربع كنسبة 1 : 3 و كان
مجموع محيطى المثلث و المربع 7 سم أوجد طول ضلع المربع
( 10 ) قطعة من السلك طولها 630 سم قسمت إلى جزأين بنسبة : 7 و صنع من الجزأين مربع و مثلث متساوى
الأضلاع على الترتيب أوجد طول ضلع المربع و طول ضلع المثلث
( 11 ) قطعة من السلك طولها 7 سم قسمت إلى جزأين بنسبة 7 : 11 و صنع من الجزأين مربع و دائرة على
الترتيب أوجد طول ضلع المربع و طول نصف قطر الدائرة ( = @؛7@؛ )
( 1 ) قطعة من السلك طولها 154 سم قسمت إلى جزأين بنسبة 3 : 4 و صنع من الجزأين مثلث متساوى الأضلاع
و دائرة على الترتيب أوجد طول ضلع المثلث و طول نصف قطر الدائرة ( = @؛7@؛ )
النسبة بين ثلاثة أعداد
أمثلة :
[ 1 ] إذا كان طول سمير 175 سم ، طول هانى 150 سم ، طول ناصر 15 سم أوجد النسب بين أطوالهم
الحلــــــــــــــــ
طول سمير : طول هانى : طول ناصر
175 : 150 : 15 بالقسمة على 5
7 : 6 : 5
[ ] إذا كان وزن منى : وزن هدى : وزن عزة = 8 : 7 : 9 و كان وزن عزة يزيد عن وزن هدى
بمقدار 4.8 كجم أوجد وزن كل من منى و هدى و عزة
الحلــــــــــــــــ
النسبة بين الأوزان الثلاثة هى 8 : 7 : 9 و هذا يعنى أن :
وزن منى قسم إلى 8 أقسام متساوية ، وزن هدى قسم إلى 7 أجزاء متساوية
، وزن عزة قسم إلى 9 أجزاء متساوية ، و كل الأجزاء من نفس النوع
الفرق بين وزن عزة و وزن هدى = 9 – 7 = جزء
معنى ذلك أن : جزء تعادل 4.8 كجم أى أن : قيمة الجزء = 4.8 ÷ = 4. كجم
و يكون : وزن منى = 4. × 8 = . 19 كجم
، وزن هدى = 4. × 7 = 16.8 كجم
، وزن عزة = 4. × 9 = 6. 1 كجم
التحقق من صحة الحل :
وزن منى : وزن هدى : وزن عزة
. 19 : 16.8 : 6. 1 " بالضرب × 10 "
19 : 168 : 16 " بالقسمة على 4 "
8 : 7 : 9 " و هى النسبة المعطاه "
[ 3 ] إذا كان : ص = 3 : ، ص : ع = 5 : 4 أوجد النسبة بين ، ص ، ع
الحلــــــــــــــــ
حيث أن : = #؛2 فيكون : = #؛2 ص
، = $؛5 فيكون : ع = $؛5 ص
، تصبح النسبة بين ، ص ، ع هى :
: ص : ع = #؛2 ص : ص : $؛5 ص " بالقسمة على ص "
= #؛2 : 1 : $؛5 " بالضرب × 10 "
= 15 : 10 : 8
حل آخــــــــــر
بإستخدام م 0 م 0 ا كما بالشكل المقابل :
حيث : م 0 م 0 ا للعددين ، 5 هو 10
معنى ذلك أن :
تالى النسبة الأولى و هو ضرب × 5 فأصبح 10
لذلك : نضرب مقدم النسبة الأولى و هو 3 × 5 ليكون 15
أيضاً : مقدم النسبة الثانية و هو 5 ضرب × فأصبح 10
لذلك : نضرب تالى النسبة الثانية و هو 4 × ليكون 8
و تصبح النسب الثلاث هى : 15 : 10 : 8
[ 4 ] قسم مبلغ 3900 جنيه بين ثلاثة أشخاص بحيث تكون النسبة بين نصيب الأول إلى نصيب الثانى كنسبة
: 3 و نصيب الثالث نصف نصيب الثانى أوجد نصيب كل منهم
الحلــــــــــــــــ
من الشكل المقابل :
النسب الثلاث هى : 4 : 6 : 3
فيكون :
مجموع الأجزاء = 4 + 6 + 3 = 13 جزء
قيمة الجزء الواحد = 3900 ÷ 13 = 300 جنيه
نصيب الأول = 300 × 4 = 100 جنيه
نصيب الثانى = 300 × 6 = 1800 جنيه
نصيب الثالث = 300 × 3 = 900 جنيه
تمارين
( 1 ) ثلاث قطع من القماش طول الأولى 5.4 متر ، و طول الثانية . 7 متر ، و طول الثالثة 4.8 متر أوجد
النسبة بين أطوال القطع الثلاث
( ) ا ب حـ مثلث فيه ا ب : ب حـ : حـ ا = 6 : 5 : 3 و كان ا حـ = 48 سم أوجد محيط المثلث
( 3 ) في إحدى سباقات السباحة كانت النسبة بين أزمنة الثلاثة الأوائل هى : 3 : 5 و كان افرق بين زمن المتسابق
الثانى و المتسابق الثالث ساعة و نصف أوجد الزمن الذى إستغرقه كل منهم في هذا السباق
( 4 ) وزع مبلغ 540 جنيهاً بين ثلاثة أشخاص بنسبة : 3 : 4
( 5 ) إذا كانت النسبة بين قياسات زوايا مثلث هى 3 : 7 : 8 أوجد قياس كل زاوية من زواياه
( 6 ) أوجد النسبة بين ما مع كريم و ما مع حمدى و ما مع وليد إذا كان :
مبلغ كريم : مبلغ حمدى = 4 : 3 ، مبلغ حمدى : مبلغ وليد = 6 : 5
( 7 ) قطار به 80 راكب فإذا كان عدد ركاب الدرجة الأولى #؛4 عدد ركاب الدرجة الثانية ، عدد ركاب الدرجة الثانية
#؛5 عدد ركاب الدرجة الثالثة أحسب عدد ركاب كل من الدرجات الثلاث
( 8 ) قسم مبلغ 714 جنيهاً بين ثلاثة أشخاص بحيث تكون النسبة بين نصيب الأول إلى نصيب الثانى كنسبة 8 : 5
و نصيب الثالث نصف نصيب الأول أوجد نصيب كل منهم
( 9 ) ثلاث حدائق لزراعة الموالح كانت إنتاج الحديقة الأولى إلى إنتاج الحديقة الثانية كنسبة 3 : ، و النسبة بين
إنتاج الحديقة الثانية إلى إنتاج الحديقة الثالثة كنسبة 4 : 3 و كان الفرق بين إنتاج الحديقة الأولى و الحديقة
الثانية 150 كيلوجراماً أوجد إنتاج كل حديقة
تطبيقات على النسبة ( المعدل )
تمهيد :
إذا قطعت سيارة مسافة 40 كيلومتراً في 4 ساعات فإن :
سرعة هذه السيارة = 60 كيلومتر لكل ساعة
أى أنها تسير بسرعة 60 كيلومتر في الساعة " و هو ما يسمى بالمعدل "
تسمى النسبة ( 60 كيلومتر لكل ساعة ) معدل المسافة المقطوعة في الساعة و تكتب ( 60 كم / ساعة )
المعدل :
هو النسبة بين كميتين من نوعين مختلفين
و للمعدل وحدة هى عدد وحدات الكمية الأولى لكل وحدة من الكمية الثانية
أمثلة :
[ 1 ] تستهلك سيارة 0 لتراً من الوقود في قطع مسافة 70 كيلومتراً أحسب معدل إستهلاك السيارة للوقود
الحلــــــــــــــــ
معدل إستهلاك السيارة للوقود = (؛0&؛2@؛ = 13.5 كيلومتر / لتر
[ ] تنتج ماكينة 700 متر من النسيج في ساعتين ، و تنتج ماكينة أخرى 850 متراً من نفس النسيج فى
ساعتين و نصف أى الآلتين أكثر كفاءة ؟
الحلــــــــــــــــ
معدل إنتاج الآلة الأولى = = 350 متر / ساعة
معدل إنتاج الآلة الثانية = = 340 متر / ساعة
أى أن : الآلة الأولى أكفأ من الآلة الثانية
تمارين
( 1 ) تقطع سيارة مسافة 450 كيلومتراً في 3 ساعات أوجد سرعة السيارة ( معدل المسافة المقطوعة في الساعة )
( ) تصرف أسرة مبلغ 350 جنيهاً في 7 أيام أوجد معدل ما تصرفه هذه الأسرة في اليوم الواحد
( 3 ) ينتج مصنع 3000 لمبة من لمبات الفلورسنت في 4 ساعات ، و ينتج مصنع آخر 50 لمبة من لمبات
الفلورسنت في 3 ساعات أى المصنعين أكثر إنتاجاً ؟
( 4 ) أشتركت متسابقتان في الكتابة على الآلة الكاتبة فإذا كان عدد الكلمات التى كتبتها المتسابقة الأولى 87
كلمة في 3 دقائق و نصف ، و عدد الكلمات التى كتبتها المتسابقة الثانية 33 كلمة في 4 دقائق فأى
المتسابقتين أفضل ؟
( 5 ) آلة زراعية تحرث 6 أفدنة في 3 ساعات أوجد معدل أداء هذه الآلة ، و إذا حرثت آلة أخرى 10 أفدنة فى 4
ساعات فأى الآلتين أفضل ؟
( 6 ) آلة زراعية تحرث 8 أفدنة في 4 ساعات أوجد معدل أداء هذه الآلة ، و إذا حرثت آلة أخرى 14 قيراطاً في 0
في دقيقة فأى الآلتين أفضل أداء ؟
( 7 ) يجهز صاحب مطعم 80 وجبة غداء جميعها من نفس النوع بإستخدام 0 كيلوجراماً من اللحم فما هو معدل
كمية اللحم اللازمة لإعداد الوجبة الواحدة و ما كمية اللحم اللازمة لإعداد 4 وجبات ؟
الوحدة الثانية
التناسب
معنى التناسب
تمهيد :
إذا كان ثمن كتاب 3 جنيه فكم يكون ثمن كتابين ، ثلاث كتب ، أربع كتب ، 0000 ؟
الجدول التالى يبين عدد الكتب و الثمن في كل حالة :
من الجدول نلاحظ أن :
( 1 ) فى الصف الثانى :
عدد الجنيهات في كل حالة ينتج من ضرب عدد الكتب المناظر له × 3
لاحظ : 1 × 3 = 3 ، × 3 = 6 ، 3 × 3 = 9 ، و هكذا
يمكن كتابة نسبة عدد الجنيهات إلى عدد الكتب في كل حالة كما يلى :
= #؛1 = ^؛2 = )؛3 = @؛4!؛ = %؛5!؛ = 3 " مقدار ثابت "
نستنتج أن النسب متساوية " هذه الصورة الرياضية تسمى بالتناسب "
( ) في الصف الأول :
عدد الكتب في كل حالة ينتج من قسمة عدد الجنيهات المناظرة له ÷ 3 أو بالضرب × !؛3 )
لاحظ : 3 ÷ 3 = 1 ، 6 ÷ 3 = ، 9 ÷ 3 = 3 ، و هكذا
يمكن كتابة نسبة عدد الكتب إلى عدد الجنيهات في كل حالة كما يلى :
= !؛3 = @؛6 = #؛9 = $؛2 ؛1 = %؛5 ؛1 = !؛3 " مقدار ثابت
نستنتج أن النسب متساوية " هذه الصورة أيضاً تسمى بالتناسب "
تعريف التناسب :
التناسب هو تساوى نسبتين أو أكثر
مثال :
أكمل الجدول التالى و أكتب بعض صور التناسب :
الحلـــــــــــ
لحساب العدد الناقص بالصف الثانى نضرب العدد المناظر له في الصف الأول × #؛4
فنجد أن : 8 × #؛4 = 6 ، 1 × #؛4 = 9 ، 0 × #؛4 = 15
و لحساب العدد الناقص بالصف الأول نقسم العدد المناظر له بالصف الثانى ÷ #؛4 أى نضرب × $؛3
فنجد أن : 1 × $؛3 = 16 ، 4 × $؛3 = 3 ، 1 × $؛3 = 8
لعد إكمال الجدول نجد أن :
$؛3 = *؛6 = ^؛2!؛1 = @؛9!؛ = @؛4#؛2 = (؛5@؛1 = *؛1@؛2
بعض صور التناسب : $؛3 = *؛6 ، $؛3 = *؛6 = ^؛2!؛1 = @؛9!؛
تدريب :
أكمل الجدول التالى و أكتب بعض صور التناسب :
الحلـــــــــــ
ع 0 م 0 ا للعددين ( 6 ، 15 ) هو 3 و بالتالى يكون : %؛6!؛ = 0000
لحساب العدد الناقص بالصف الثانى نضرب العدد المناظر له في الصف الأول × 0000
فنجد أن : 8 × 0000 = 0000 ، 14 × 0000= 0000 ، 18 × 0000= 0000
و لحساب العدد الناقص بالصف الأول نقسم العدد المناظر له بالصف الثانى ÷ 0000 أى نضرب × 0000
فنجد أن : 5 × 0000 = 0000 ، 5 × 0000 = 0000 ، 30 × 0000 = 0000
لعد إكمال الجدول نجد أن صور التناسب هى :
تمارين
( 1 ) أكمل الجدول التالى و أكتب بعض صور التناسب :
( ) أكمل الجدول التالى و أكتب بعض صور التناسب :
( 3 ) أكمل الجدول التالى و أكتب بعض صور التناسب :
( 4 ) أكمل المخططين التالين و أكتب بعض صور التناسب :
خواص التناسب
تمهيد :
بملاحظة الشكلين التاليين :
= =
نجد أن :
* فى الشكل الأول : ضربنا حدى النسبة @؛8 فى ( 6 ) فنتج التناسب @؛8 = @؛8!؛4
* فى الشكل الثانى : قسمنا حدى النسبة %؛9#؛4 على ( 7 ) فنتج التناسب %؛9#؛4 = %؛7
خاصية ( 1 ) :
نستنتج مما سبق :
يمكن تكوين تناسب بمعلومية نسبة واحدة كمل يلى :
• ضرب حدى النسبة في عدد لا يساوى الصفر فإن النسبة الناتجة تساوى النسبة الأولى ( تناسب )
• قسمة حدى النسبة على عدد لا يساوى الصفر فإن النسبة الناتجة تساوى النسبة الأولى ( تناسب )
ملاحظة :
من التناسب @؛8 = @؛8!؛4
الأعداد ، 8 ، 1 ، 48 توصف بأنها متناسبة و تسمى حدود التناسب كما يلى :
الحد الأول ، 8 الحد الثانى ، 1 الحد الثالث ، 48 الحد الرابع
و يسمى الحدان ( ، 48 ) بالطرفين ، و الحدين ( 8 ، 1 ) بالوسطين
كما يلاحظ أن : × 48 = 8 × 1
خاصية ( ) :
نستنتج مما سبق :
فى حالة تساوى نسبتين فإن : حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين
أمثلة :
[ 1 ] أكمل التناسب التالى : #؛9 = @؛0!؛0 ؛0 ؛0
الحلــــــــــــــــ
نرمز للحد الناقص بالرمز
الطريقة الأولى : إستخدام تناظر الأعداد بالصفوف
الصف الأول : 3 ، 1
الصف الثانى : 9 ،
نلاحظ أن : 3 أصبحت 9 أى ضربت × 3
لذلك نضرب 1 × 3 لنحصل على = 1 × 3 = 36
و يصبح التناسب هو : #؛9 = @؛6!؛3
الطريقة الثانية : إستخدام تناظر الأعداد بالأعمدة
العمود الأول 3 العمود الثانى 1
9
نلاحظ أن : 3 أصبحت 1 أى ضربت × 4
لذلك نضرب 9 × 4 لنحصل على = 9 × 4 = 36
و يصبح التناسب هو : #؛9 = @؛6!؛3
الطريقة الثالثة : إستخدام خاصية ( حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين )
حيث أن : = ينتج أن : 3 × = 9 × 1 " بالقسمة ÷ 3 "
= ينتج أن : = = 36
و يصبح التناسب هو : #؛9 = @؛6!؛3
[ ] إذا كانت الأعداد 9 ، 15 ، ، 60 متناسبة أوجد قيمة
الحلــــــــــــــــ
حيث أن الأعداد متناسبة لذا يمكن وضعها على صورة تناسب هو : =
و بإستخدام خاصية ( حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين )
ينتج أن : 15 × = 9 × 60 " بالقسمة ÷ 15 "
ينتج أن : = = 36
[ 3 ] يقطع قطار مسافة 04 كيلومتر في ساعة و نصف أوجد المسافة التى يقطعها القطار فى 3 ساعات
و فى كم ساعة يقطع مسافة قدرها 61 كيلومتراً
الحلــــــــــــــــ
الجدول المقابل يمثل هذه المسألة
بإعتبار أن : 04 ، 1.5 ، ، 3 متناسبة
يكون : 1.5 × = 3 × 04 " بالقسمة ÷ 1.5 "
ينتج أن : = = 408
أى أن القطار يقطع مسافة 408 كيلومتر فى 3 ساعات
، بإعتبار أن : 04 ، 1.5 ، 61 ، ص متناسبة
فيكون : 04 × ص = 1.5 × 61 " بالقسمة ÷ 04 "
ينتج أن : ص = = 4.5
أى أن القطار يقطع فى 4.5 ساعة مسافة 61 كيلومتراً
تدريب : لاحظ و أكمل الجدول التالى
تمارين
( 1 ) أوجد العدد فى التناسبات التالية :
[ ا ] [ ب ]
[ حـ ] [ ء ]
( ) أكمل كلاً من الجداول التالية بحيث تكون الأعداد الموجودة فى صفى كل جدول متناسبة :
[ ا ] [ ب ]
[ حـ ] [ ء ]
( 3 ) أوجد العدد الناقص لكى تكون الأعداد متناسبة فى ما يلى :
[ ا ] 3 ، 8 ، 9 ، [ ب ] 3 ، ، 4.5 ، 1
[ حـ ] 5 ، 6 ، ، 18 [ ء ] ، 8 ، 3.5 ، 4
( 4 ) تحتاج سيارة إلى 14 لتراً من البنزين فى قطع مسافة 175 كيلومتراً :
[ ا ] كم لتراً تحتاج إليها السيارة فى قطع مسافة قدرها 100 كيلومتر ؟
[ ب ] كم كيلومتراً تقطعها السيارة إذا استخدمت 0 لتراً من البنزين ؟
( 5 ) جرار زراعى يمكنه حرث 1 فداناً فى 4 ساعات :
[ ا ] كم فداناً يحرثها الجرار فى 5 ساعات ؟
[ ب ] كم ساعة يستغرقها الجرار فى حرث 48 فداناً ؟
( 6 ) شجرة إرتفاعها 5 أمتار و طول ظلها فى لحظة ما 10 أمتار كم يكون طول طفل ظله 3 أمتار فى
نفس اللحظة ؟
( 7 ) أشترى شخص 7 كيلوجراماً من الموز فدفع مبلغ 35 جنيهاً فكم يدفع إذا أشترى 9 كيلوجراماً ؟
( 8 ) نسبة وزن رجل إلى وزن أبنه 5 : 3 فكم يكون وزن الأبن إذا كان وزن الرجل 90 كيلوجراماً :
( 9 ) لعمل مربى التين يضاف 4.8 كيلوجرام من السكر إلى كل 6 كيلوجرامات من التين أوجد
[ ا ] كم كيلوجراماً من السكر تضاف إلى 15 كيلوجراماً من التين لعمل نفس المربى ؟
[ ب ] كم كيلوجراماً من التين تضاف إلى 14.4 كيلوجرام من السكر ؟
( 10 ) لتقديم 6 أكواب من عصير البرتقال يلزم عصر كيلوجرام من البرتقال أوجد :
[ ا ] كم كيلوجراماً من البرتقال تلزم لتقديم 7 كوباً من العصير ؟
[ ب ] كم كوباً يمكن تقديمها إذا تم عصر 5 كيلوجراماً من البرتقال ؟
مقياس الرسم
معنى مقياس الرسم :
إذا ألتقطت بآلة التصوير " الكاميرا " صورة لأخيك فإن الصورة تكون متناسقة و تعبر عن جميع التفاصيل
بنفس النسب الموجودة فى الحقيقة
فإذا كان طول أخيك فى الصورة 13 سم ، و طوله الحقيقى 130 سم فإن ذلك يعنى :
[ 1 ] كل 13 سم فى الصورة تمثل 130 سم فى الحقيقة
أى أن : كل 1 سم فى الصورة يمثل 10 سم فى الحقيقة
[ ] النسبة بين الطول فى الصورة و الطول فى الحقيقة = 1 : 10
معنى ذلك أن : = #؛0!؛3 ؛1 = !؛0 ؛1
تسمى هذه النسبة ( مقياس الرسم )
أى أن : مقياس الرسم =
ملاحظات :
* إذا كان مقياس الرسم < 1 فإنه يدل على التصغير
مثل : رسم الخرائط ، تصميمات الإنشاءات الهندسية ، صور الأشخاص أو الأماكن 0000 إلخ
* إذا كان مقياس الرسم < 1 فإنه يدل على التكبير
مثل : تكبير صورة حشرة ، تكبير صورة شخص 0000 إلخ
* تنقسم المسائل المرتبطة مقياس الرسم إلى ثلاثة أنواع هى :
( 1 ) إيجاد مقياس الرسم
( ) إيجاد الطول فى الرسم
( 3 ) إيجاد الطول فى الحقيقة
كما سيتضح من الأمثلة التالية
أمثلة :
[ 1 ] المسافة بين مدينتين 5 كم فإذا كانت المسافة بينهما على الخريطة هى 5 سم أوجد مقياس رسم هذه
الخريطة
الحلــــــــــــــــ
الطول فى الرسم = 5 سم
الطول فى الحقيقة = 5 كم = 5 × 1000 × 100 = 500000 سم
مقياس الرسم = = = = 1 : 500000
و هذا يعنى أن : كل 1 سم على الخريطة يمثل 5 كيلومترات فى الحقيقة
[ ] ألتقطت صورة لإحدى الحشرات الدقيقة جداً فإذا كان طول الحشرة فى الصورة هو 50 سم
فإذا كان طولها الحقيقى 5 مم أوجد مقياس الرسم
الحلــــــــــــــــ
الطول فى الصورة = 50 سم × 10 = 500 مم
الطول فى الحقيقة = 5 مم
مقياس الرسم = = = 100
و هذا يعنى أن : كل 100 مم فى الصورة يمثل 1 مم فى الحقيقة
[ 3 ] رسمت خريطة بمقياس رسم 1 : 7000000 أوجد :
[ ا ] البعد الحقيقى بالكيلومترات بين بلدين المسافة بينهما على الخريطة 1.8 سم
[ ب ] طول البعد على الخريطة لمسافة طولها الحقيقى 140 كيلومتراً
الحلــــــــــــــــ
حيث أن : مقياس الرسم =
[ ا ] أى أن : =
الطول فى الحقيقة × 1 = 1.8 × 7000000 = 16000000 سم
الطول فى الحقيقة = = 16 كم
[ ب ] =
أى أن : الطول فى الخريطة = 140 × 1000 × 100 × = كم
تدريب :
أكمل الجدول التالى :
تمارين
( 1 ) المسافة بين أسوان و كوم أمبو 40 كيلومتراً ، و المسافة بينهما على خريطة 10 سم أوجد مقياس
رسم هذه الخريطة
( ) ترعة طولها 1800 متر ، ظهرت على خريطة فكان طول المستقيم الذى يمثلها 6 سنتيمترات أوجد مقياس
رسم هذه الخريطة
( 3 ) ألتقطت صورة لإحدى الحشرات الدقيقة جداً فإذا كان طول الحشرة فى الصورة هو 40 سم فإذا كان طولها
الحقيقى مم أوجد مقياس الرسم
( 4 ) رسمت حشرة بعد تكبيرها بمقياس رسم 50 : 1 فإذا كان طول الحشرة فى الرسم 30 سنتيمتراً أوجد
طولها بالملليمترات
( 5 ) فى مصور جغرافى مرسوم بمقياس رسم 1 : 500000 وجدت المسافة بين مدينتين على هذا المصور
14 سم أوجد البعد الحقيقى بين المدينتين بالكيلومتر
( 6 ) رسمت خريطة بمقياس رسم 1 : 400000 فإذا كان البعد بين بلدين 11 كيلومتراً أوجد البعد بينهما
على هذه الخريطة
( 7 ) صورة صغيرة لفراشة بعديها الحقيقيين بالملليمترات هما 18 مم ، 48 مم تم تكبيرها فكان بعداها
( 7 × ) سنتيمتر أوجد نسبة التكبير ثم أحسب قيمة بالسنتيمترات
( 8 ) إذا كانت المسافة بين مدينتين على خريطة مقياس رسمها 1 : 600000 هو 1 سم أوجد المسافة الحقيقية
بينهما بالكيلومترات ، و ما مقدار هذه المسافة على خريطة أخرى مقياس رسمها 1 : 500000
( 9 ) قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها 35 متراً ، و عرضها 5 متراً رسمها مهندس فكان طولها فى الرسم
70 سنتيمتراً فما مقياس الرسم الذى إستخدمه المهندس ؟ و ما عرض القطعة فلا الرسم ؟
( 10 ) رسمت ثلاث خرائط للوجه القبلى الأولى بمقياس رسم 1 : 40000 و الثانية بمقياس رسم 1 : 60000
و الثالثة بمقياس رسم 1 : 100000 فإذا كان البعد بين مدينتين على الخريطة الأولى يساوى 10 سم
أوجد البعد بين نفس المدينتين على كل من الخريطة الثانية و الثالثة
( 11 ) إذا كانت المسافة الحقيقية بين بلدين 50 كيلومتراً فما المسافة بينهما على خريطة مرسومة بمقياس
رسم 3 : 5000000 ؟
( 1 ) إذا كانت المسافة بين مدينتى القاهرة و المنصورة 130 كيلومتراً و كان البعد بينهما على خريطة ما 6.5 سم
فإوجد مقياس رسم هذه الخريطة ، و إذا كان البعد بين مدينتى المنصورة و ميت غمر 45 كيلومتراً فإوجد
البعد بينهما على نفس الخريطة
التقسيم التناسبى
معنى التقسيم التناسبى :
التقسيم التناسبى هو تقسيم شئ ما ( نقود ، أراضى ، أرباح ، أوزان ، 0000 إلخ ) بنسبة معلومة
أمثلة :
[ 1 ] قسم مبلغ 960 جنيهاً بين سمير ، على ، محمد بنسبة 4 : 5 : 7 أوجد نصيب كل منهم
الحلــــــــــــــــ
نصيب سمير : نصيب على : نصيب محمد
4 : 5 : 7
مجموع الأجزاء = 4 + 5 + 7 = 16 جزءاً
أى أن : 960 جنيهاً تعادل 16 جزءاً
قيمة الجزء = 960 ÷ 16 = 60 جنيهاً
نصيب سمير = 60 × 4 = 40 جنيهاً
نصيب على = 60 × 5 = 300 جنيهاً
نصيب محمد = 60 × 7 = 40 جنيهاً
[ ] تم تقسيم قطعة أرض بين أخوين بنسبة 7 : 5 فإذا كان نصيب الأول يزيد عن نصيب الثانى بمقدار
80 متراً مربعاً أوجد مساحة قطعة الأرض و نصيب كل من الأخوين
الحلــــــــــــــــ
نصيب الأول : نصيب الثانى = 7 : 5
الفرق بين الأجزاء = 7 – 5 = جزء
معنى ذلك أن : جزء تعادل 80 متراً مربعاً أى أن : قيمة الجزء = 80 ÷ = 40 متراً مربعاً
و يكون : مساحة قطعة الأرض = 40 × 1 = 480 متراً مربعاً
، نصيب الأول = 40 × 7 = 80 متراً مربعاً
، نصيب الثانى = 40 × 5 = 00 متراً مربعاً
[ 3 ] بلغ حجم إنتاج البرتقال بإحدى الحدائق 6500 كيلوجرام ، حمل الإنتاج على ثلاث سيارات إلى أماكن
التعبئة فإذا كان ما تحمله السيارة الأولى #؛4 ما تحمله السيارة الثانية ، و ما تحمله السيارة الثانية @؛3
ما تحمله السيارة الثالثة أوجد حمولة كل سيارة
الحلــــــــــــــــ
حمولة السيارة الأولى : حمولة السيارة الثانية : حمولة السيارة الثالثة
3 : 4
: 3
3 : 4 : 6
مجموع الأجزاء = 3 + 4 + 6 = 13 جزءاً
قيمة الجزء الواحد = 6500 ÷ 13 = 500 كيلوجرام
حمولة السيارة الأولى = 500 × 3 = 1500 كيلوجرام
حمولة السيارة الثانية = 500 × 4 = 000 كيلوجرام
حمولة السيارة الثالثة = 500 × 6 = 3000 كيلوجرام
[ 4 ] أشترك ثلاثة أشخاص فى مشروع تجارى فدفع الأول 1500 جنيه ، و دفع الثانى 10000 جنيه ، و دفع
الثالث 15000 جنيه ، و فى نهاية العام عند توزيع صافى الأرباح زاد نصيب الأول من الربح عن نصيب
الثانى 300 جنيه أوجد نصيب كل منهم من صافى الأرباح
الحلــــــــــــــــ
مبلغ الأول : مبلغ الثانى : مبلغ الثالث
150 : 10000 : 15000
5 : 4 : 6
الفرق بين الأجزاء = 5 – 4 = 1 جزء
قيمة الجزء الواحد = 300 ÷ 1 = 300 جنيه
نصيب الأول = 300 × 5 = 1500 جنيه
نصيب الثانى = 300 × 4 = 100 جنيه
نصيب الثالث = 300 × 6 = 1800 جنيه
تدريبات :
[ 1 ] عدد المتعلمين بالصفوف الثلاثة ( الأول و الثانى و الثالث ) بمدرسة ما 700 متعلم فإذا كانت النسبة بين
عدد متعلمى الصف الأول : عدد متعلمى الصف الثانى : عدد متعلمى الصف الثالث كنسبة 7 : 4 : 3
أوجد عدد متعلمى كل صف من الصفوف الثلاثة
الحلــــــــــــــــ
عدد متعلمى الصف الأول : عدد متعلمى الصف الثانى : عدد متعلمى الصف الثالث
0000 : 0000 : 0000
مجموع الأجزاء = 0000 + 0000 + 00000 = 0000 جزءاً
أى أن : 0000 جنيهاً تعادل 0000 جزءاً
قيمة الجزء = 0000 ÷ 0000 = 0000 متعلماً
عدد متعلمى الصف الأول = 0000 × 0000 = 0000 متعلماً
عدد متعلمى الصف الثانى = 0000 × 0000 = 0000 متعلماً
عدد متعلمى الصف الثالث = 0000 × 0000 = 0000 متعلماً
[ ] توفى رجل و ترك 56000 جنيه وزعت بين زوجته و ثلاثة أولاد و بنت واحدة فإذا علم أن للزوجة !؛8
التركة ، و أن نصيب الولد ضعف نصيب البنت أحسب نصيب كل من الزوجة و الولد و البنت
الحلــــــــــــــــ
نصيب الزوجة = 56000 × !؛8 = 0000 جنيه
نصيب الأولاد و البنات = 0000 – 0000 = 0000 جنيه
نصيب الولد : نصيب البنت = 0000 : 0000
نصيب الأولاد الثلاثة = 0000 × 0000 = 0000 أجزاء
مجموع الأجزاء = 0000 + 0000 = 0000 أجزاء
قيمة الجزء = 0000 ÷ 0000 = 0000 جنيه
نصيب الولد = 0000 × 0000 = 0000 جنيه
نصيب البنت = 0000 × 0000 = 0000 جنيه
تمارين
( 1 ) قسم مبلغ 50 جنيهاً بين شخصين بنسبة 7 : 6 أوجد نصيب كل منهما
( ) قسم مبلغ من المال بين ماهر و خالد و حسن فكان نصيب ماهر #؛5 نصيب خالد ، و نصيب حسن #؛4 نصيب
خالد فإذا كان نصيب خالد يزيد عن نصيب حسن بمقدار 150 جنيهاً أحسب نصيب كل منهم
( 3 ) أشترك ثلاثة أشخاص فى تجارة فدفع الأول 400 جنيه ، و دفع الثانى 3600 جنيه ، و دفع الثالث 6000
جنيه و فى نهاية السنة خسرت الشركة 000 جنيه أوجد نصيب كل منهم فى هذه الخسارة
( 4 ) أشترك محسن و سعيد فى مشروع تجارى فدفع محسن 30000 جنيه و دفع سعيد 40000 جنيه فإذا بلغت
أرباح المشروع فى نهاية العام 35000 جنيه فما نصيب كل منهما
( 5 ) أشترك ثلاثة أشخاص فى تجارة فدفع الأول 6000 جنيه و دفع الثانى 700 جنيه و دفع الثالث 9600 جنيه
و فى آخر العام بلغ نصيب الأول من صافى الربح 100 جنيه أوجد صافى ربح كل من الثانى و الثالث
( 6 ) أشترك ثلاثة أشخاص فى تجارة فدفع الأول 4500 جنيه و دفع الثانى 700 جنيه و دفع الثالث 3600 جنيه
و فى نهاية العام كان مجموع نصيبى الأول و الثالث من الأرباح 900 جنيه أوجد نصيب كل منهم من الأرباح
( 7 ) أشترك ثلاثة أشخاص فى تجارة ربحت 14000 جنيهاً فإذا كانت نسبة ما دفعه الأول إلى ما دفعه الثانى
كنسبة 3 : 4 و كانت نسبة ما دفعه الثالث إلى ما دفعه الثانى كنسبة 5 : 6 فما نصيب كل منهم من الأرباح
( 8 ) أشترك ثلاثة أشخاص فى تجارة فدفع الأول #؛5 ما دفعه الثانى و دفع الثانى !؛3 ما دفعه الثالث و فى نهاية العام
وزعت الأرباح فكان نصيب الثانى ينقص عن نصيب الثالث بمقدار 150 جنيهاً أحسب نصيب كل منهم من
الأرباح
( 9 ) قطار به 980 راكباً فإذا كان عدد ركاب الدرجة الأولى @؛3 عدد ركاب الدرجة الثانية و كان عدد ركاب الدرجة
الثانية %؛8 عدد ركاب الدرجة الثالثة أحسب عدد ركاب كل من الدرجات الثلاث
( 10 ) مدرسة بها 530 متعلم فإذا كانت النسبة بين عدد المتعلمين بالصف الأول : عدد المتعلمين بالصف الثانى
كنسبة 3 : 8 ، و النسبة بين المتعلمين بالصف الثانى : عدد المتعلمين بالصف الثالث كنسبة 6 : 5
أوجد عدد المتعلمين بكل صف من الصفوف الثلاثة
( 11 ) النسبة بين طول مستطيل و عرضه 7 : 3 و الفرق بين الطول و العرض 6.4 سم أوجد طول المستطيل و
عرضه ثم أوجد مساحة سطح المستطيل
( 1 ) أسس ماهر مكتباً للحاسب الآلى برأس مال قدره 35000 جنيه و بعد شهرين شاركه رامز بمبلغ 35000
جنيه أيضاً و بعد شهرين آخرين شاركهما هانى بمبلغ 35000 جنيه و بعد سنة من تأسيس المكتب تبين
أن صافى الربح 590 جنيهاً أوجد نصيب كل منهم من الأرباح
حساب المائة
تمهيد :
الشكل المقابل يمثل :
مربعاً كبيراً تم تقسيمه إلى مائة مربعاً صغيراً جميعها متساوية
نلاحظ :
عدد المربعات الصغيرة المظللة = 30 مربعاً
نسبة الجزء المظلل إلى المربع الكلى = (؛0#؛0 ؛1 أو 30 : 100
الحد الأول للنسبة هو 30 ، و الحد الثانى للنسبة هو 100
مثل هذه النسبة تسمى " نسبة مئوية " و تكتب ( 30 ./0 ) و تقرأ ( 30 فى المائة )
النسبة المئوية :
هى نسبة حدها الثانى 100 و يرمز لها بالرمز " ./0 "
ملاحظات :
• نسبة الجزء غير المظلل إلى المربع الكلى = 70 ./0 و تقرأ ( 70 فى المائة )
• مجموع نسبة الجزأين المظلل و غير المظلل = 30 ./0 + 70 ./0 = 100 ./0
• إذا كانت الفائدة على دفتر التوفير بأحد البنوك أو كتب البريد 10 ./0 فى السنة
فمعنى ذلك أن كل 100 جنيهاً تأخذ فائدة أو ربحاً قدره 10 جنيهات لتصبح آخر العام 110 جنيهاً
و سبب ذلك هو أن الفائدة ( 10 جنيهات لكل 100 جنيه ) حسبت كما يلى :
(؛0!؛0 ؛1 × 100 = 10 جنيه " تضاف لكل مائة جنيه "
• إذا كانت نسبة الخصم بمحل تجارى 30 ./0 معنى ذلك أن كل 10 جنيه تخصم منها 30 جنيهاً
و تدفع للمحل 70 جنيهاً و سبب ذلك أن نسبة الخصم ( 30 جنيهاً لكل مائة جنيه ) حسب كما يلى :
(؛0#؛0 ؛1 × 100 = 30 جنيهاً " تخصم من كل مائة جنيه عند الدفع "
• إذا كتب على قطعة ملابس ما يلى : ( المكونات : 45 ./0 صوف ، 30 ./0 ألياف صناعية ، 5 ./0 قطن ) معنى ذلك أن : مجموع المكونات = 45 ./0 + 30 ./0 + 5 ./0 = 100 ./0
• 100 ./0 من مقدار تساوى المقدار كله
و معناها (؛0(؛0!؛1 من المقدار = الوحد
الجمعة مارس 27, 2020 9:56 am من طرف 
