الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تتعرف المنشور القائم وأن تجد حجمه ومساحة سطحه .
أولا:المنشور القائم حجمه ومساحة سطحه
تمهيد : يستعمل الكثيرون منا في منازلهم خزانات للماء ، وهذه الخزانات مصنوعة من الحديد المطلي ( لتأخير الصدأ قدر الإمكان ) ، أو من مواد بلاستيكية ، أما أشكالها فمختلفة بعضها منتظم وبعضها غير منتظم . يصنع الحدادون خزانات حديدية مختلفة الأبعاد ، بعضها صغير وبعضها كبير حسب حاجة الزبون ، ومن الأشكال الشائعة في منازلنا الخزان الذي طوله = عرضه = ارتفاعه = 1 م ونحن نقول أن هذا الخزان حجمه ( أو سعته ) 1 م والصواب هو 1م3 . وهنالك خزان آخر شائع طوله = عرضه = 1 م ، أما ارتفاعه فهو 2 م وأما حجمه ( سعته ) فهو مثلي حجم الأول أي 2م3 .
المفهوم : لقد سبق لك أن تعرفت على شكل المنشور القائم ، حيث المنشور القائم هو مجسم له قاعدتان مستويتان ومتطابقتان ، وأسطحه الجانبية مستطيلات .
رجو أن تكون قد شاهدت المنشور الزجاجي الثلاثي القائم الذي يستخدم في تجارب تحليل الضوء . إن له قاعدتين مثلثتين متطابقتين وثلاثة أوجه كل واحد منها مستطيل
حالات خاصة : المكعب : هو منشور قائم أبعاده الثلاثة متساوية .
مثال : خزان ماء طوله وعرضه وارتفاعه = 1 م .
سؤال : هل متوازي المستطيلات ( والمكعب ) يمثل منشوراً ، فسر جوابك .
ثانيا : متوازي المستطيلات Rectangular Prism
هو موشور قائم قاعدته مستطيل وكل أوجهه الآخرى مستطيلات . وقد تكون قاعدته مربعة ( أي طوله = عرضه ) وارتفاعه له قياس مختلف عن طول قاعدته المربعة .
تدريب : ـ اضرب ثلاثة أمثلة لمتوازيات مستطيلات مألوفة لديك .
ـ اكتب بلغتك الخاصة تعريفاً لمتوازي المستطيلات .
مثال محلول :
صندوق من الخشب على شكل متوازي مستطيلات أبعاده 2 ، 3 ، 5 م . احسب حجمه .
الحل : حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة .
حجم الصندوق = 2م × 3م × 5م
= 30 م3 .
2. مثال آخر :
باب من الخشب ارتفاعه 2 م ، وعرضه 1 م ، وسماكة الخشب المصنوع منه = 5 سم . بفرض أن الباب منتظم وعلى شكل متوازي مستطيلات ، فالمطلوب حساب حجم مادة الخشب التي صنع منها الباب .
الحل : حجم الباب = ارتفاعه × عرضه × سماكته = حجم الخشب المصنوع منه .
لاحظ هنا أن الأبعاد مختلفة في وحداتها فاثنان منها مقاسان بالمتر والثالث بالسم ، إذن عند حساب الحجم يجب جعل الوحدات كلها متشابهة .
إذن حجم الباب = حجم الخشب = 2 م × 1 م ×
لاحظ أننا ضربنا 5 سم × 1 ( حتى لا نغير قيمتها وذلك على شكل
إذن حجم الخشب = 2م × 1 م ×
= 0.1 م3
للتفكير : لو كان لدينا قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 2م × 1م × 1م ، فكم باباً من النوع المذكور في السؤال نستطيع أن نعمل منها بفرض أنه لن يضيع منها أي شيء أثناء عمليات القص والتشكيل .
ثالثا: المنشور الثلاثي Triangular Prism
وهو منشور قائم قاعدته مثلث وله ثلاث أوجه جانبية كل منها مستطيل .
أمثلة : أوضح الأمثلة على هذا النوع موشورات تحليل الضوء وعادة ما تكون قاعدتها مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، أو مثلت متساوي الأضلاع
أمثلة أخرى : بعض أنواع علب العصير قد تكون على شكل المنشورات الثلاثية .
سادسا: حساب حجم الموشور عموماً مهما كان شكل قاعدته :
لحساب حجم أي منشور نضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه ، حيث مساحة القاعدة تمثل حاصل ضرب بعدين من أبعاده ، ويكون الارتفاع هو البعد الثالث .
مثال : منشور سداسي قائم مساحة قاعدته 60 سم2 وارتفاعه 12 سم . جد حجمه .
الحل : حجم المنشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه
= 60 سم2 × 12 سم = 720 سم3 .
أمثلة : جد حجم كل من المنشورات التالية :
أبعاد كل منشور موجودة على الشكل.
قاعدة المنشور الاول مثلث قائم الزاوية طول ضلعية القائمة فيه 2 و 5 سم.
1. حجم المنشور (أ) = مساحة القاعدة × الارتفاع = ( مساحة المثلث ) × 8 سم
× 5 × 2 ) × 8 = 40 سم3 .
= ( × 5 × 2 ) × 8 = 40 سم3 .
25. إذا كان حجم متوازي مستطيلات 90 سم3 مساحة قاعدته 30 سم2 ، احسب ارتفاعه .
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
90 = 30 × ع
= 3 سم .
الارتفاع= = 3 سم .